Estudiar derivabilidad de una funcion

Significado derivado

En matemáticas, la derivada de una función de una variable real mide la sensibilidad al cambio del valor de la función (valor de salida) con respecto a un cambio en su argumento (valor de entrada). Las derivadas son una herramienta fundamental del cálculo. Por ejemplo, la derivada de la posición de un objeto en movimiento con respecto al tiempo es la velocidad del objeto: mide la rapidez con que cambia la posición del objeto cuando avanza el tiempo.

La derivada de una función de una sola variable en un valor de entrada elegido, cuando existe, es la pendiente de la recta tangente a la gráfica de la función en ese punto. La recta tangente es la mejor aproximación lineal de la función cerca de ese valor de entrada. Por esta razón, la derivada se describe a menudo como la «tasa de cambio instantánea», la relación entre el cambio instantáneo de la variable dependiente y el de la variable independiente.

Las derivadas pueden generalizarse a funciones de varias variables reales. En esta generalización, la derivada se reinterpreta como una transformación lineal cuya gráfica es (tras una traslación adecuada) la mejor aproximación lineal a la gráfica de la función original. La matriz jacobiana es la matriz que representa esta transformación lineal con respecto a la base dada por la elección de las variables independientes y dependientes. Se puede calcular en términos de las derivadas parciales respecto a las variables independientes. Para una función de valor real de varias variables, la matriz jacobiana se reduce al vector gradiente.

La función diferenciable es continua

Una función diferenciable es una función en una variable en cálculo tal que su derivada existe en cada punto de todo su dominio. La recta tangente a la gráfica de una función diferenciable es siempre no vertical en cada punto interior de su dominio. Una función diferenciable no tiene ninguna ruptura, cúspide o ángulo. Una función diferenciable es siempre continua, pero toda función continua no es diferenciable.

En este artículo, exploraremos el significado de diferenciable, cómo utilizar las reglas de diferenciabilidad para encontrar si la función es diferenciable, comprenderemos la importancia de los límites en la diferenciabilidad y descubriremos otros aspectos interesantes de la misma.

Se dice que una función es diferenciable si la derivada de la función existe en todos los puntos de su dominio. En particular, si una función f(x) es diferenciable en x = a, entonces f′(a) existe en el dominio. Veamos algunos ejemplos de funciones polinómicas y trascendentales que son diferenciables:

Si f, g son funciones diferenciables, entonces podemos utilizar algunas reglas para determinar las derivadas de su suma, diferencia, producto y cociente. A continuación se presentan algunas fórmulas de diferenciabilidad utilizadas para encontrar las derivadas de una función diferenciable:

Cómo demostrar que una función es diferenciable

En la sección 1.2, aprendimos cómo el concepto de límites puede utilizarse para estudiar la tendencia de una función cerca de un valor de entrada fijo. Al estudiar dichas tendencias, nos interesa fundamentalmente saber cómo se comporta la función en el punto dado, digamos \(x = a\). En la presente sección, pretendemos ampliar nuestra perspectiva y desarrollar un lenguaje y una comprensión para cuantificar cómo actúa la función y cómo cambia su valor cerca de un punto determinado. Además de pensar en si la función tiene o no un límite \(L\) en \(x = a\), también consideraremos el valor de la función \(f (a)\) y cómo este valor está relacionado con \(lim_{x→a} f (x)\), así como si la función tiene o no una derivada \(f ‘(a)\) en el punto de interés. A lo largo de este trabajo, nos basaremos y formalizaremos ideas que hemos encontrado en varios escenarios.

Una función \(f\) definida en \(-4 < x < 4\) viene dada por la gráfica de la figura 1.7.1. Utiliza la gráfica para responder a cada una de las siguientes preguntas. Nota: a la derecha de \(x = 2\), la gráfica de \(f\) exhibe un comportamiento oscilatorio infinito similar al de la función \(\sin( \frac{π}{ x })\) que encontramos en el ejemplo clave de la Sección 1.2.

Cuándo una función no es diferenciable

Respuesta: Es posible determinar un valor exacto de la derivada en un punto concreto de una función simplemente definiendo la derivada. Para refrescar la memoria, el límite de la derivada de la función se define como y = el producto de dos funciones x y f (x).

Respuesta: Si una expresión algebraica se eleva a cualquier potencia, digamos n, entonces la derivada tiene una potencia 1 menos que la función original, según la regla de las potencias de las derivadas. Entonces y = xn, donde n es mayor que cero. Cuando dy/dx es igual a n-1.

Respuesta: Si una derivada es la suma o diferencia de dos funciones, entonces sus derivadas son iguales a la suma o diferencia de sus derivadas, según la regla de la suma de las derivadas. dy/dx [u(x) ± v(x)]= du/dx ± dv/dx.