Estudia la continuidad de las siguientes funciones
Continuidad de una función ejemplos con respuestas pdf
Una función continua, como su nombre indica, es una función cuya gráfica es continua sin interrupciones ni saltos. Es decir, si somos capaces de dibujar la curva (gráfica) de una función sin ni siquiera levantar el lápiz, entonces decimos que la función es continua. El estudio de la continuidad de una función es muy importante en el cálculo, ya que una función no puede ser diferenciable si no es continua.
Se dice que una función f(x) es una función continua en cálculo en un punto x = a si la curva de la función NO se rompe en el punto x = a. La definición matemática de la continuidad de una función es la siguiente. Una función f(x) es continua en un punto x = a si
¿Esta definición realmente da el significado de que la función no debe tener una ruptura en x = a? Veamos. “limₓ → ₐ f(x) existe” significa, que la función debe acercarse al mismo valor tanto por el lado izquierdo como por el derecho del valor x = a y “limₓ → ₐ f(x) = f(a)” significa que el límite de la función en x = a es igual a f(a). Estas dos condiciones juntas harán que la función sea continua (sin ruptura) en ese punto. Puedes entenderlo en la siguiente figura.
Tipos de continuidad
Muchas funciones tienen la propiedad de que sus gráficas se pueden trazar con un lápiz sin levantar el lápiz de la página. Estas funciones se denominan continuas. Otras funciones tienen puntos en los que se produce una ruptura en la gráfica, pero satisfacen esta propiedad sobre intervalos contenidos en sus dominios. Son continuas en estos intervalos y se dice que tienen una discontinuidad en un punto donde se produce una ruptura.
Comenzamos nuestra investigación sobre la continuidad explorando qué significa que una función tenga continuidad en un punto. Intuitivamente, una función es continua en un punto concreto si no hay ninguna ruptura en su gráfica en ese punto.
Antes de estudiar una definición formal de lo que significa que una función sea continua en un punto, vamos a considerar varias funciones que no cumplen nuestra noción intuitiva de lo que significa ser continua en un punto. A continuación, creamos una lista de condiciones que evitan esos fallos.
Sin embargo, como vemos en la (Figura), esta condición por sí sola es insuficiente para garantizar la continuidad en el punto . Aunque está definida, la función tiene un hueco en . En este ejemplo, la brecha existe porque no existe. Debemos añadir otra condición para la continuidad en -a saber,
Continuidad de una función en un intervalo
Parece que estás en un dispositivo con un ancho de pantalla “estrecho” (es decir, probablemente estás en un teléfono móvil). Debido a la naturaleza de las matemáticas en este sitio es mejor verlas en modo horizontal. Si su dispositivo no está en modo apaisado, muchas de las ecuaciones saldrán por el lado del dispositivo (debería poder desplazarse para verlas) y algunos de los elementos del menú quedarán cortados debido al estrecho ancho de la pantalla.
A lo largo de las últimas secciones hemos estado utilizando el término “suficientemente agradable” para definir aquellas funciones cuyos límites podríamos evaluar simplemente evaluando la función en el punto en cuestión. Ahora es el momento de definir formalmente lo que queremos decir con “suficientemente agradable”.
Obsérvese que esta definición también está suponiendo implícitamente que tanto \N(f\a izquierda( a \a derecha)\Ncomo \N(\Nmathop {{lim }\a} f\a izquierda( x \a derecha)\Nexisten. Si alguno de ellos no existe, la función no será continua en \(x = a\).
\Si no existe ninguna de ellas, la función no será continua en x = a. 5in} {mathop {lim }limits_{x \}a {a^ – }} f\left( x \right) = f\left( a \right)\hspace{0.5in} {mathop {lim }limits_{x \\}a {a^ + }} f\left( x \right) = f\left( a \right)\}
Continuidad de una función pdf
Como hemos visto, la derivada de una función en un punto determinado nos da la tasa de cambio o pendiente de la recta tangente a la función en ese punto. Si diferenciamos una función de posición en un momento dado, obtenemos la velocidad en ese momento. Parece razonable concluir que conocer la derivada de la función en cada punto produciría información valiosa sobre el comportamiento de la función. Sin embargo, el proceso de encontrar la derivada incluso en un puñado de valores utilizando las técnicas de la sección anterior se volvería rápidamente bastante tedioso. En esta sección definimos la función derivada y aprendemos un proceso para encontrarla.
La función derivada da la derivada de una función en cada punto del dominio de la función original para la que se define la derivada. Podemos definir formalmente una función derivada como sigue.
Para expresar la derivada de una función utilizamos diferentes notaciones. En la (Figura) demostramos que si , entonces . Si hubiéramos expresado esta función en la forma , podríamos haber expresado la derivada como o . Podríamos haber transmitido la misma información escribiendo . Así, para la función , cada una de las siguientes notaciones representa la derivada de :